х = z cos φ, у = z sin φ.

Затем он берет условия типа CM ± CN = const., = const., = const, и некоторые другие и исследует соответствующие классы кривых. Сходным образом поступает он и в случае трех точек пересечения.

Специальную главу Эйлер посвятил подобию и аффинности кривых. Он повторил сделанное уже ранее указание, что однородное относительно х и у уравнение представляет только систему («aliquot») прямых, пересекающихся в одной точке. Если же уравнение оказывается однородным при введении «параметра» и, то все представляемые им кривые являются подобными. Эйлер приводит для примера уравнение

у3 — 2 х3 + a y y — a a x + 2 a a y = 0

и доказывает, что если координаты точек другой кривой системы обозначить X и Y, то всегда будет

и .

«Аффинными» Эйлер назвал кривые, координаты которых связаны уравнениями

и .

Это определение совпадает с современным понятием аффинности. Затем Эйлер привел еще несколько примеров на составление систем кривых с одним переменным параметром.

Интересно, что в свою книгу Эйлер включил также главу о трансцендентных кривых. Он кратко рассмотрел тригонометрические кривые, логарифмическую кривую, циклоиду, эпициклоиды и гипоциклоиды, линию х у = у х и спирали. Для спиралей он вновь применил полярные координаты, обозначая полярный угол, измеряемый в радианах, через s, а полярный радиус-вектор, как и раньше, через z. Ни здесь, ни где-либо в другом месте этого тома дифференциальное исчисление не применялось. [11]

Надо обратить внимание, что дидактические достоинства второго тома «Введения» велики. Изложение отличается отчетливостью и доступностью, систематизация материала вполне естественная. Для того времени это «научный трактат» и в то же время хороший учебник. Впервые аналитическая геометрия была столь полно и последовательно изложена. Отныне ей было обеспечено самостоятельное место среди других математических дисциплин. [6]

Политика татар на русском Северо-востоке до эпохи смут в Золотой Орде во второй половине XIV в.
С ярлыком на великое княжение Владимирское были связаны особые полномочия, которые давали великому князю владимирскому право в известных случаях распоряжаться силами других князей Суздальской земли. Равным образом с ярлыком на великое княжение Владимирское была связана особая территория. Эта территория, поступавшая в распоряжение велико ...

Общественно-политическое развитие СССР в конце 1920—1930-х гг
В период с 1928 по 1937 гг. в СССР было окончательно сформировано тоталитарное государство. Рыночные механизмы были заложены государственным регулированием, а во всех сферах жизни общества был установлен режим тотального контроля, осуществляющегося партийно-государственным аппаратом. Наблюдались и другие признаки тоталитарной систем ...

Победа контрреволюции. Причины поражения революции в Италии.
В марте 1849 г. пьемонтские войска возобновили военные действия против Австрии, но вновь потерпели поражение. Король Карл Альберт отрекся от престола в пользу сына Виктора Эммануила и бежал за границу. Исход войны стал трагедией для многих областей Италии. Австрийские власти оккупировали Тоскану, и возвели на престол своего ставленника ...