х = z cos φ, у = z sin φ.

Затем он берет условия типа CM ± CN = const., = const., = const, и некоторые другие и исследует соответствующие классы кривых. Сходным образом поступает он и в случае трех точек пересечения.

Специальную главу Эйлер посвятил подобию и аффинности кривых. Он повторил сделанное уже ранее указание, что однородное относительно х и у уравнение представляет только систему («aliquot») прямых, пересекающихся в одной точке. Если же уравнение оказывается однородным при введении «параметра» и, то все представляемые им кривые являются подобными. Эйлер приводит для примера уравнение

у3 — 2 х3 + a y y — a a x + 2 a a y = 0

и доказывает, что если координаты точек другой кривой системы обозначить X и Y, то всегда будет

и .

«Аффинными» Эйлер назвал кривые, координаты которых связаны уравнениями

и .

Это определение совпадает с современным понятием аффинности. Затем Эйлер привел еще несколько примеров на составление систем кривых с одним переменным параметром.

Интересно, что в свою книгу Эйлер включил также главу о трансцендентных кривых. Он кратко рассмотрел тригонометрические кривые, логарифмическую кривую, циклоиду, эпициклоиды и гипоциклоиды, линию х у = у х и спирали. Для спиралей он вновь применил полярные координаты, обозначая полярный угол, измеряемый в радианах, через s, а полярный радиус-вектор, как и раньше, через z. Ни здесь, ни где-либо в другом месте этого тома дифференциальное исчисление не применялось. [11]

Надо обратить внимание, что дидактические достоинства второго тома «Введения» велики. Изложение отличается отчетливостью и доступностью, систематизация материала вполне естественная. Для того времени это «научный трактат» и в то же время хороший учебник. Впервые аналитическая геометрия была столь полно и последовательно изложена. Отныне ей было обеспечено самостоятельное место среди других математических дисциплин. [6]

Становление казачества.
После падения Киева в 1240 г. ареной основных событий в истории Украины стали западные земли — Галичина и Волынь. Но к концу XVI в. на востоке вновь возникает эпицентр исторических движений — и мы опять должны обратиться к землям, лежащим в бассейне Днепра и все это время пребывавшим в запустении. Собственно, именно этот вековечный рубе ...

Колониализм и социальные перемены на Востоке
В колониальную эпоху на Востоке начались социальные перемены. При этом речь идет не только о преобразованиях, которые проводили колонизаторы, но и о реформах в странах, сохранивших свою государственность и стремившихся дать более или менее адекватный ответ на вызов истории, ставившей под сомнение суверенитет и жизнеспособность народов В ...

Причины зарождения государства.
1) Общественное разделение труда. 2) Появление частной собственности. 3) Социально-классовое расслоение. Теологическая теория настаивает на божественном происхождении государства, государственной власти, утверждает и защищает тезис "вся власть от бога". Несмотря на свое религиозное содержание и эта теория, возникшая еще в д ...