Применение дифференциальных операций к более общим пространственным образам, как и вообще их аналитическое изучение, последовало сравнительно поздно. В «Исследованиях» Клеро (1731), кроме подкасательной пространственной кривой, встречается лишь формула ds=. Какой-либо прогресс в этом отношении не наблюдается вплоть до выхода двух статей Эйлера о пространственных кривых, последовавших одна за другой в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Поэтому две указанные работы следует считать в данной области основоположными. Чтобы не выделять особо какую-либо из осей координат, Эйлер сразу выбирает в качестве независимой переменной длину дуги s, полагая

dx = p ds, dy = q ds и dz = r ds.

Затем он описал вокруг точки кривой Z шар единичного радиуса, на который, как сказали бы мы, сферически отобразил окрестность точки кривой вместе с прямыми, проходящими через нее параллельно осям, и т. д.; прием этот вел свое происхождение из астрономии.

Далее, Эйлер применил формулы сферической тригонометрии, добавив, однако (в Dissertatio altera — «Другое рассуждение»), для тех, кого не может удовлетворить этот «чужеродный принцип», совершенно иной вывод, отправлявшийся от соприкасающейся плоскости. Полученные результаты сам Эйлер резюмировал в заключении следующим образом. Если взять прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, то его диагональ дает длину и направление радиуса-вектора; диагональ параллелепипеда со сторонами р, q, r дает направление касательной и длина ее равна 1; диагональ параллелепипеда со сторонами

дает направление радиуса кривизны, а длина ее равна обратному значению последнего; наконец, если взять стороны равными и т. д., то длина диагонали будет та же, что и в предыдущем случае, а направление ее будет перпендикулярным к соприкасающейся плоскости.

В тесной связи с этими исследованиями находилась работа Эйлера о «телах», поверхность которых можно наложить на плоскость [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подобными развертываниями многократно занимались с чисто практической точки зрения еще ранее Фр. Деран («Архитектура сводов и т. д.» — L'architecture des voutes etc., Париж, 1643) и особенно

А. Фрезье («Теория и практика резки камней и дерева» — La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, 1737; см. также ниже о Гварини, стр. 309). Но понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Он взял на плоскости бесконечно малый прямоугольный треугольник, исходящий из точки (t, u), и определил на поверхности такой треугольник, исходящий из точки х, у, z, который был бы конгруэнтен с первым. Полагая и т. д., он получил условия развертываемости поверхности в виде

l2 +m2 + n2 =1, λ2 + μ2 + ν2 =1, l λ + m μ + n ν =0.

Затем Эйлер аналитически и геометрически показал, что касательные к любой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность, и что тоже относится к поверхности, образуемой общими касательными двух «тел», одно из которых рассматривается как светящееся. Тем самым было введено понятие развертывающихся поверхностей, а точки их представлены были с помощью двух параметров.

Основные черты империи древности
Основные черты развития западного и восточного типов цивилизации в древности таковы: 1) отсутствие ценности личности, индивида на Востоке (не случайно одним из наиболее распространенных символов восточной культуры является изображение человека в лодке без весел, т.е. подчиняющегося "течению реки" - природе, государству) - ран ...

Социально-политическое развитие России в XVIIв.
Соляной бунт 1648г. Предпосылки: 1. Рост налогов и неудача налоговой реформы правительства Б.И.Морозова. В 1646г он отменил ряд прямых налогов и ввел косвенный - на соль. Народ резко сократил ее потребление. Правительство, вынужденное восстановить старые цены на соль, стало собирать недоимки по отмененным налогам за 2 года. 2. Взя ...

Просвещение Шотландии.
История общественной мысли в Шотландии XVIII в. — это история мучительных поисков выхода из унизительного положения, в котором, по убеждению многих просвещённых шотландцев, оказалась их родина. Философ Эндрю Флетчер, «отец» шотландского Просвещения, дал толчок формированию новой гражданской этики, обосновывавшей иные, альтернативные вой ...