Применение дифференциальных операций к более общим пространственным образам, как и вообще их аналитическое изучение, последовало сравнительно поздно. В «Исследованиях» Клеро (1731), кроме подкасательной пространственной кривой, встречается лишь формула ds=. Какой-либо прогресс в этом отношении не наблюдается вплоть до выхода двух статей Эйлера о пространственных кривых, последовавших одна за другой в Act. Ac. Petr., 1782, I (1786). Поэтому две указанные работы следует считать в данной области основоположными. Чтобы не выделять особо какую-либо из осей координат, Эйлер сразу выбирает в качестве независимой переменной длину дуги s, полагая

dx = p ds, dy = q ds и dz = r ds.

Затем он описал вокруг точки кривой Z шар единичного радиуса, на который, как сказали бы мы, сферически отобразил окрестность точки кривой вместе с прямыми, проходящими через нее параллельно осям, и т. д.; прием этот вел свое происхождение из астрономии.

Далее, Эйлер применил формулы сферической тригонометрии, добавив, однако (в Dissertatio altera — «Другое рассуждение»), для тех, кого не может удовлетворить этот «чужеродный принцип», совершенно иной вывод, отправлявшийся от соприкасающейся плоскости. Полученные результаты сам Эйлер резюмировал в заключении следующим образом. Если взять прямоугольный параллелепипед со сторонами х, у, z, то его диагональ дает длину и направление радиуса-вектора; диагональ параллелепипеда со сторонами р, q, r дает направление касательной и длина ее равна 1; диагональ параллелепипеда со сторонами

дает направление радиуса кривизны, а длина ее равна обратному значению последнего; наконец, если взять стороны равными и т. д., то длина диагонали будет та же, что и в предыдущем случае, а направление ее будет перпендикулярным к соприкасающейся плоскости.

В тесной связи с этими исследованиями находилась работа Эйлера о «телах», поверхность которых можно наложить на плоскость [Nov. Comm. Petrop., 1771 (1772)]. Подобными развертываниями многократно занимались с чисто практической точки зрения еще ранее Фр. Деран («Архитектура сводов и т. д.» — L'architecture des voutes etc., Париж, 1643) и особенно

А. Фрезье («Теория и практика резки камней и дерева» — La theorie et la pratique de la coupe des pierres et des bois, I, Страсбург, 1737; см. также ниже о Гварини, стр. 309). Но понятие развертывающейся поверхности создал Эйлер. Он взял на плоскости бесконечно малый прямоугольный треугольник, исходящий из точки (t, u), и определил на поверхности такой треугольник, исходящий из точки х, у, z, который был бы конгруэнтен с первым. Полагая и т. д., он получил условия развертываемости поверхности в виде

l2 +m2 + n2 =1, λ2 + μ2 + ν2 =1, l λ + m μ + n ν =0.

Затем Эйлер аналитически и геометрически показал, что касательные к любой пространственной кривой всегда образуют развертывающуюся поверхность, и что тоже относится к поверхности, образуемой общими касательными двух «тел», одно из которых рассматривается как светящееся. Тем самым было введено понятие развертывающихся поверхностей, а точки их представлены были с помощью двух параметров.

Итог
Историки высказывают как положительные, так и отрицательные оценки деятельности Александра Невского. Согласно традиционной трактовке Александр Невский сыграл исключительную роль в русской истории, в драматический период, когда Русь подверглась удару с трёх сторон: католического Запада, монголо-татар и Литвы. Александр Невский, за всю жи ...

Отношения накануне войны
Еще за несколько недель до начала Второй мировой войны английское руководство начало прорабатывать планы высадки британских войск на Скандинавский полуостров. С началом войны к планированию десантных операций в Норвегии и Швеции подключалось французское правительство. Англия и Франция стремились одним ударом достичь двух целей – пресечь ...

Политика Александра на завоёванных территориях. Её эволюция.
В этой главе мы рассмотрим лишь один (наиболее важный, как нам представляется) аспект политики Александра на завоёванных территориях. Это меры, предпринимаемые для создание социальной опоры власти македонского царя. Мы не рассматриваем здесь религиозную политику Александра, хотя она и имела важное значение в деле укрепления власти макед ...