С конца XVII до тридцатых годов XVIII столетия мы не можем назвать какого-либо замечательного теоретико-числового открытия. Математики были слишком заняты разработкой возникших недавно исчисления бесконечно малых и аналитической геометрии. Только Эйлер, распространивший свою огромную активность на все области математики, уделил внимание этой отвлеченнейшей ее ветви и даже с особенной любовью занимался ею на протяжении всей жизни. Из многочисленных работ Эйлера мы, разумеется, можем выделить только важнейшие результаты и методы, не вдаваясь в частности.

§4.1. Целочисленное решение неопределенных уравнений

В целом ряде статей Эйлер занялся целочисленным решением неопределенных уравнений. Уже в раннем периоде своей деятельности он нашел упомянутый выше способ решений уравнений первой степени с двумя неизвестными [Comm. Ac. Petr., 1734/35 (1740)], который мы встретили у Ролля. В «Полном введении в алгебру» (1768/69) Эйлер применил тот же прием к линейным уравнениям с несколькими неизвестными. К последним он возвратился затем в статье, опубликованной уже после его смерти во втором томе «Аналитических сочинений» (Opuscula analytica, 1785). Лагранж в Mem. Ac. BerL, 1768 (1770) присоединил к методу Эйлера еще свой известный способ цепных дробей, весьма близкий, впрочем, к способу Ваше. Еще ранее Эйлер показал [Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738)], как получается бесконечно много целочисленных решений уравнения ах2 + bx + с =y2, если известно одно такое решение. Несложное преобразование этого уравнения немедленно приводит задачу к более простой, именно к определению целочисленных решений уравнения A+By2=z2. В Nov. Comm. Ac. Petr. за 1762/63 (1764) и 1773 (1774) Эйлер сумел также дать правила нахождения одного такого решения при положительном В. Однако его исследования вскоре были отодвинуты на задний план результатами Лагранжа, который привел к виду А+Вt2= и2 общее уравнение

Ах2 + bxy + су2 +dx +cy +f=0

и в Mem. Ac. Berl., 1769 (1771) подробнейшим образом рассмотрел вопрос о решении первого уравнения. Прием Лагранжа заключался в том, что посредством подходящих преобразований он постепенно уменьшал коэффициенты, пока один из них не становился равным единице, после чего решение сводилось к решению задачи Ферма. Эйлер все же вернулся впоследствии к общей проблеме снова и сообщил два метода, позволявших по одному известному решению найти бесконечно много решений. Вместе с тем он нашел условия, при которых рациональные решения переходят в целочисленные [см. Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) и «Аналитические сочинения», т. I, 1783]. Эйлер подошел к аналогичной задаче и для уравнений третьей и четвертой степеней. Последние исследования, в которых предшественником Эйлера был еще Ферма, рассмотревший две частные формы четвертой степени, относились к 1780, но появились много времени спустя после смерти Эйлера [например, в т. XI Mem. Petersb. (1830)], когда они представляли уже почти лишь исторический интерес.

В круг своих занятий Эйлер включил также вопрос о целочисленном решении систем диофантовых уравнений высших степеней и систем более чем с двумя неизвестными, которому посвятил целый ряд статей. Однако они не оказали влияния на последующее развитие теории чисел, ибо не давали общих методов и содержали только искусные приемы в частных случаях.

Политика татар в отношении к ростовским князьям и местному боярству
Начиная с 60-70 гг. XIII в. ростовских князей ставят в совершенно исключительное положение, на них направляется усиленное внимание Золотой Орды. Прежде всего, начиная с 60-х гг. XIII в., в Волжскую Орду из Северо-восточной России проезжают почти исключительно князья ростовские, да и верный союзник Андрей Городецкий. Ростовские князья и ...

Основные этапы формирования Афинского полиса
В последнее десятилетия VII в. до н.э. недовольство господством эвпатриодов крайне обострилось. Обстановка в стране была очень напряжённой. И в конце-концов, началось открытое восстание против эвпатриодов. В то же время Афины стремились овладеть островом Саламином, так как Саламин закрывал выход в открытое море из афинских гаваней. В 594 ...

Структура вавилонского общества во время правления царя Хаммурапи
Вавилонское общество состояло из свободных людей - авилум, рабов - вардум и, занимавших промежуточное положение царских людей - мушкенум. Внутри класса свободных общинников, авилумов, существовало сильное имущественное расслоение - от царя, высших чиновников и жречества, которым принадлежала основная часть земли, до бедных крестьян и ре ...