Мощным побудительным стимулом явилась для него так называемая теорема Ферма о сравнении атº1 (mod p), значение которой он оценил сразу. Эйлеру принадлежат два доказательства этой теоремы, покоящихся на разных основаниях. Первое [Comm. Ac. Petr., 1736(1741)] использовало тот факт, что все биномиальные коэффициенты, соответствующие показателю степени р, делятся на р, и было проведено с помощью индукции. Второе и третье доказательства появились в Nov. Comm. Ac. Petr. за 1758/59 (1761) и 1760/61 (1763).

В последней статье Эйлер обобщил теорему Ферма, установив (в обозначениях, ведущих свое происхождение от Гаусса), что

аj(m) º 1 (mod m),

где j(т) есть число чисел, взаимно простых с т и меньших т. Встречающееся здесь число j(т), которое по предложению Гаусса называют теперь «функцией Эйлера», последний представил в той же работе в виде

где р, р’, . — простые делители числа т. Если т само есть простое число, то числа 1, 2, 3, ., (р - 1) будут с ним взаимно простыми, и получается важная теорема, высказанная Дж. Вильсоном и опубликованная в 1770 Варингом в его «Алгебраических размышлениях». Теорема эта гласит, что величина 1, 2, 3 . (р - 1)+1 делится без остатка на р, где р, как и всюду здесь, — простое число. Эта теорема, как и теорема Ферма, заключается в установленном Лагранжем [Mem. Ac. Bed., 1771 (1773)] общем сравнении

xp-l - l=(x + l)(x + 2) .(x+p - 1) (mod р)

при x = 0. Она была также доказана Эйлером («Аналитические сочинения», I, 1783) и Гауссом («Арифметические исследования», 1801). Упрощенное доказательство теоремы Ферма дал еще И. Г. Ламберт, охотно занимавшийся и теорией чисел (Nov. Acta Erud., 1769).

§4.3. Вычеты

К важнейшим достижениям в исследовании целых чисел Эйлера привели старания доказать другую, упоминавшуюся уже, теорему Ферма о том, что всякое простое число вида 4п + 1 разбивается на сумму двух квадратов. Эйлер многократно и с различных сторон подходил к этой теореме и при этом нашел ряд интересных предложений. Окончательно доказать ее Эйлеру удалось лишь в 1749 [Nov. Comm. Ac. Petr., 1754/55 (1760)], воспользовавшись тем ходом мыслей, которым он шел в первом доказательстве теоремы о сравнении ат = 1 (mod р). Это привело его к рассмотрению остатков от деления квадратов 12, 22, 32, ., (р - 1)2 на простое число р. Эйлер немедленно увидел, что при этом получаются «многие замечательные свойства, изучение которых проливает немало света на природу чисел». Таким образом, он впервые поставил вопрос о квадратичных вычетах и понял их значение. Здесь уже встречаются и термины: вычеты (residua) и невычеты, (non residua). В том же месте и в позднейших статьях, в которых он занялся степенными вычетами вообще и рассмотрел полные и неполные системы вычетов, он установил важнейшие относящиеся к ним теоремы. В Nov. Comm. Ac. Petr., 1773 (1774) он ввел также понятие и слово «первообразный корень». Поэтому Эйлера справедливо называют творцом теории степенных вычетов, тем более что ему принадлежит и открытие «закона взаимности» квадратичных вычетов, который Гаусс называл «основной теоремой» (theorema fundamentale) и который до недавнего времени приписывали Лежандру. Закон взаимности Эйлер установил еще в 1772, а опубликован он был, правда, без доказательства, в 1783 в первом томе «Аналитических сочинений».

Направленность политики США в начале 70-х годов. Применение "доктрины Никсона" в Южной Корее
Первой задачей истощенной войной Южной Кореи было возрождение экономики. Помощь ООН и США позволили в течение нескольких лет поднять хозяйство и создать ряд новых отраслей промышленности. Апрель 1960 г. переломил ситуацию в Южной Корее, где разгорелось яростное восстание и Лин Сын Ман был свергнут. В последующие годы политическая карти ...

Битва за Москву
Упорное сопротивление Красной армии под Смоленском, Ленинградом, Киевом, Одессой, на многих других участках фронта не позволило осуществить планы немецкого командования по захвату Москвы к началу осени. В ходе Смоленского сражения немецкие войска впервые были вынуждены временно перейти к обороне. Лишь после окружения крупных сил (665 ты ...

Гангутское морское сражение (1714 г.)
После победы зимой 1714 г. у Лапполо можно было развивать действия на море. К 1714 г. русский флот представлял большую силу, способную потягаться с шведским флотом. Обстановка в Западной Европе несколько улучшилась для России. Между державами-победительницами — Англией, Голландией и Австрией — начались серьезные трения после Утрехтского ...