«Поверхности» как таковые, кроме плоскости и шара, древние математики почти не рассматривали. Правда, Архимед присоединил к известным тогда обыкновенным коническим и цилиндрическим поверхностям еще «сфероиды» и «коноиды», но он смотрел на них как на «тела», имея целью определение их объемов.

Уравнение поверхности в пространственных координатах вывел впервые Лагир.

В трактате о кратчайших линиях на поверхностях [Comm. Ac. Petr., 1728 (1732)] Эйлер рассмотрел три частных рода поверхностей, а именно, цилиндрические и конические поверхности и поверхности вращения. Он привел для этих поверхностей, отчасти лишь словесно, уравнения, которые мы можем записать в виде

z=j(y), z=j(x2+ y2)

Вскоре затем Герман в одной статье в Comm. Ac. Petr., 1732/33 (1738) частью аналитически, частью геометрически исследовал несколько поверхностей, данных своими уравнениями. Прежде всего, он рассмотрел плоскость

azx+by+cx-e2=0,

затем «параболически-цилиндрический клин»

z2 – ax - by=0

конус

z2 – xy=0

«коноиды»

z2 – ax - by=0

и

a z2 + b y z+ c y2 – e x z + f x2+ g z – h x = 0

и, далее, «круглые тела» с общим уравнением

u2 – x2 – y2 =0

где

u2=a2 - и u2=с2 -

(в последнем случае при а=b получается шар). В заключение Герман рассмотрел тело, уравнение которого привел в виде (b-z)=bx. Это уравнение аналитически, хотя и не применяя настоящих пространственных координат, исследовал в приложении к «Алгебре» (1685) еще Валлис, назвавший его Cono-Cuneus («конусо-клин»). Уже приведенные названия фигур свидетельствуют о том, что Герман видел в них в основном еще тела, чему содействовало также ограничение лишь положительными значениями z, а по большей части и положительными х, у. Для параболического конуса Герман определил касательную плоскость, не приводя ее уравнения, для коноидов — их высшие точки, для конусов (в том числе для тех, которые оказываются частными случаями коноидов) — круговые сечения и для «конусо-клина», рассматриваемого лишь в первом октанте, — различные сечения, характеризующие форму этих тел.

Эйлер присоединил ко второму тому своего «Введения в анализ» (1748) довольно обширное «Приложение о поверхностях». Прежде всего, он заявил, что о поверхности можно судить по расстояниям ее точек от произвольно выбранной плоскости. В этой плоскости он затем взял «ось» с «начальной точкой абсцисс» и ввел, таким образом, прямоугольную систему координат. Эйлер определенно указал, что х, у, z следует придавать всевозможные положительные и отрицательные значения, отметил возможность взаимной перемены трех координат и образуемых их осями плоскостей, весьма подробно разобрал вопрос о симметрии координат в восьми октантах. Тем не менее, на чертежах во внимание всегда принимался лишь первый октант, форма поверхностей вообще не анализировалась и понимание пространственных фигур как тел еще не было преодолено. Далее, Эйлер показал, что уравнение с двумя координатами представляет цилиндрическую или призматическую поверхность, а однородное уравнение выражает конус (или пирамиду). После этого он привел весьма общий класс поверхностей, включающий конусы, цилиндры и поверхности вращения (однородное уравнение относительно Z, х, у, где Z есть функция z), затем другой класс поверхностей, сечения которых (именно в первом октанте), перпендикулярные к оси, представляют собой треугольники (сюда попадает, между прочим, «конусо-клин» Валлиса), потом класс поверхностей, параллельные сечения которых аффинные между собой, и еще два вида линейчатых поверхностей, — все это без примеров. Затем Эйлер показал, как можно вообще представить сечение поверхности произвольной плоскостью в самой этой плоскости уравнением с двумя координатами t, v; он применил это потом к точному исследованию сечений цилиндра, конуса и шара, причем за основу взял прямые эллиптические цилиндр и конус, включающие рассматривавшиеся раньше косые круговые конус и цилиндр.

Первая Мировая война (1914-1918) и ее военно-политические итоги
Первая мировая война началась 1 августа 1914 г. и охватила своим влиянием 38 государств мира. В нее было втянуто более полутора миллиардов человек. Невиданные но своей численности людские резервы и материальные средства бесперебойно шли на театры военных действий. За годы войны было мобилизовано более 70 млн человек. Человеческая цивили ...

Интеллектуальное искажение источника
Интеллектуальное искажение подлинного исторического источника производится в том случае, когда он исправляется или сокращается таким образом, чтобы дополнить реально отраженные в нем факты прошлого не существовавшими деталями или же изменить его действительный смысл. Неполная аутентичность источника представляет собой сокращение текста ...

Монголия после смерти Даян-хана
Смерть в 1543 г. Даян-хана стала своеобразным рубежом в политической истории Монголии, после которой процесс раздробленности страны стал усиливаться. От Монголии постепенно стала отделяться ее южная часть, где власть унаследовали старшие сыновья Даян-хана. Эти территории имели, в отличие от северных, более тесные связи с минским Китаем ...