За этим следовала специальная глава, в которой выводились уравнения, преобразующие одну прямоугольную систему пространственных координат в другую. Так как Эйлер ввел шесть определяющих преобразование величин, то его формулы оказались несимметричными. В той же связи Эйлер ввел здесь понятие «порядка» поверхности и сформулировал теорему, что порядок плоской кривой, возникающей при сечении поверхности, не выше порядка самой поверхности; попутно он отметил также возможность распадения линии пересечения на несколько других. В качестве примера Эйлер привел уравнение плоскости

α x + β y + γ z = a,

для которой, между прочим, определил углы с координатными плоскостями.

После всего этого Эйлер впервые предпринял исследование общего уравнения второй степени с тремя координатами. В первую очередь он рассмотрел совокупность высших членов уравнения, как характеризующую «асимптотический конус», и сообщил условия его действительности, а также его вырождения. Затем, не произведя, впрочем, всех должных выкладок, он правдоподобным образом показывает, что общее уравнение может быть приведено к виду

Арр + Вqq + Crr + К = 0.

Из этого уравнения Эйлер получает эллипсоид («elliptoeides»), однополостный и двухполостный гиперболоиды («superficies еlliptico-hyperbolica» и «superficies hyperbolico-nyperbolica»). Эллиптический и гиперболический параболоиды («superficies elliptico-parabolica» и «superficies parabolico-hyperbolica») выражены здесь уравнением

Арр ± Bqq = ar.

Эйлер упоминает еще параболический цилиндр

Арр = аq

и делает несколько беглых замечаний о том, как можно определить род поверхности по какому-нибудь данному уравнению. Рассуждения Эйлера, особенно в части, касающейся доказательств, были еще весьма несовершенны, но предложенная им классификация легла в основу позднейших исследований.

Еще в начале «Приложения» Эйлер заявил, что не намерен рассматривать подобно Клеро кривые двоякой кривизны отдельно, ибо они тесно связаны с природой поверхностей. Свое «Приложение» он поэтому закончил главой о пересечении двух поверхностей, вообще говоря, представляющем пространственную кривую. Он показал, как при исключении одной из переменных возникают уравнения проекций этой кривой на координатные плоскости, и применил это также к пересечению поверхности с плоскостью. Для примера он привел пересечение плоскости с шаром, причем нашел условия их соприкосновения. Далее, он определил для шара сначала конус вращения, касающийся его вдоль некоторой окружности, а потом эллиптический конус, касающийся шара в двух точках. Относительно последнего случая он заметил, что хотя кривая пересечения имеет лишь две действительные точки, но ее проекция на некоторую координатную плоскость действительна. При определении касательной плоскости к поверхности Эйлер пользовался лишь приемом Клеро, не устанавливая общего уравнения этой плоскости, которое потребовало бы «анализа бесконечного», между тем как «Введение в анализ» должно было лишь «открыть к нему путь». В самом конце Эйлер разъяснил, как найти две поверхности, пересекающиеся по данной плоской кривой.[11]

Роль Жанны д’Арк в Столетней войне. Детство и юность Жанны д’Арк. Мотивы участия в Столетней войне
Жанна д’Арк /4/ родилась и выросла в восточной Франции, в долине реки Маас. Одна из деревень, расположенная на левом берегу Мааса, вдоль дороги, проложенной еще римлянами, называлась « Домреми» /5/. Название это напоминало, что некогда деревня принадлежала собору святого Ремилия. Впоследствии эти земли перешли к светским сеньорам, а во ...

Джунгарское ханство в конце XVII — середине XVIII в
После смерти Батур-Хунтайджи в Джунгарии началась борьба за престол, победителем в которой стал его сын Талдан, правивший с 1671 по 1697 гг., при нем началось завоевание джунгарами Восточного Туркестана, завершившееся к 1680 г. К этому времени государство значительно укрепилось и установило хорошие отношения с Россией. В 1690 г. начали ...

Так называемое «Великое Переселение Народов». И освободительное движение рабов и колонов
Ослабление Римской империи дало возможность варварским племенам почти безнаказанно переходить границы и захватывать ее территорию. Некоторое время она еще могла сдерживать натиск варваров, но лишь опираясь на самих же варваров, состоявших на ее службе в качестве союзников-федератов. В среде германских племен произошли существен­ные пер ...