Отсюда ясно, что если рекуррентный ряд продолжить достаточно далеко, то коэффициент любого члена при делении на предыдущий дает приближенное значение наибольшей буквы р.

Итак, если у данной дроби

в знаменателе все сомножители простые, действительные и не равные между собой, то из получающегося отсюда рекуррентного ряда можно будет узнать один простой множитель, именно, 1-pz, в котором буква р имеет самое большое значение. При этом коэффициенты числителя не играют роли, и, каковы бы ни были, для наибольше буквы р найдется одно и то же верное значение. Верное же значение р обнаружится лишь тогда, когда ряд будет продолжен до бесконечности; когда получены уже многие его члены, то значение p найдется тем ближе, чем больше число членов и чем более буква р превосходит остальные q, r, s и т.д.; при этом безразлично, будет ли эта буква р сопровождаться знаком плюс или минус, так как степени ее возрастают одинаково.

Теперь в достаточной степени выясняется, каким образом это исследование может быть применено к нахождению корней, какого либо алгебраического уравнения. Зная множители знаменателя

1-az-bz2-gz3-dz4- и т.д.,

легко указать корни уравнения

1-az-bz2-gz3-dz4- и т.д. =0,

так, что если множитель будет 1-pz, то один корень этого уравнения будет z=. Так как из рекуррентного ряда найдется наибольшее число р, то тем самым получится наибольший корень уравнения

1-az-bz2-gz3- и т.д. =0,

Или если положить z=, чтобы получилось уравнение

xm-axm-1-bxm-2-gxm-3- и т.д. =0,

то посредством того же метода получится наибольший корень этого уравнения х=р.

Итак, пусть дано уравнение

xm-axm-1-bxm-2-gxm-3- и т.д. =0,

у которого все корни действительны и не равны между собой; наибольший из этих корней найдется следующим образом. Составим из коэффициентов этого уравнения дробь

и отсюда образуем рекуррентный ряд, беря числитель произвольно или, что то же, принимая начальные члены произвольными; пусть этот ряд есть

А+Bz+Cz2+Dz3+…+Pzn+Qzn+1+ и т.д.

тогда дробь даст значение наибольшего корня х данного уравнения тем ближе, чем больше число п. [6]

п.2.2.2. Еще два оригинальных метода.

Кроме метода Бернулли, который сохранился до нашего времени в форме, сообщенной ему Лагранжем, XVIII столетие принесло еще два оригинальных метода И. Г. Ламберта. Оба они были изложены в статье «Различные замечания о чистой математике» (Observationes variae in mathesin puram в Acta Helvetica за 1758). Если в уравнении

сделать подстановку x = k+y и пренебречь всеми степенями у, кроме первой, то получится, что

Когда k представляет собой какое-либо число, эта формула, согласно Ламберту, дает приближенное значение для корня, ближайшего к k. Второй метод заключался в применении ряда, получившего название ламбертова, к трехчленным уравнениям вида

Анна Иоанновна Романова
Период правления императрицы Анны Иоанновны традиционно считается наиболее мрачной полосой в истории России XVIII века. Он сопровождался многочисленными казнями и ссылками, всесилием сыскных органов и полным равнодушием царицы к государственным интересам страны. Отцом Анны Иоанновны был Иван (Иоанн) Алексеевич, младший из пяти сыновей ...

Первая российская революция 1905-1907гг.
Основной предпосылкой революции является противоречие между развитием страны и пережитками в политической, социальной, социально-экономической и др. сферах, а также общенациональный политический кризис. 3 января на Путиловском заводе вспыхнула стачка, к которой присоединилось свыше 100тыс рабочих других предприятий. Организаторы стачки ...

Расселение славян к VIIIв.
Нестор пишет о следующих восточнославянских племенных союзах: - поляне, поселившиеся в Среднем Поднепровье ("в полях") - древляне, жившие от них к северо-западу в лесах - северяне, обитавшие к востоку и северо-востоку от полян по рекам Десна, Сула и Северский Донец - дреговичи - между Припятью и Западной Двиной (предположит ...