Во втором томе «Введения» (глава 22-я) Эйлер применил к решению трансцендентных уравнений, вроде s=cos s или s=sin 2s и т. п., правило ложного положения. Как сообщает он сам, он придумал подобные задачи с целью посмотреть, нельзя ли приблизиться таким путем к квадратуре круга. Позднее, когда Ламберт уже доказал иррациональность p, Эйлер вновь занялся подобными рассмотрениями, подчеркивая, что работа Ламберта отнюдь еще не доказала невозможность квадратуры круга. аэропорт амстердама

Прежде чем перейти к заслугам Эйлера в сферической тригонометрии, упомянем еще о двух тригонометрических разложениях, лежащих несколько в стороне. Эйлер нашел их, развивая предложенный Декартом и затем неоднократно открывавшийся вновь способ построения окружности данной длины (Декарт, Opuscula posthuma, Амстердам, 1701, ср. его Oeuvres, т. X). Это бесконечный ряд

tgj + tg +tg + .= - 2ctg2j

[ср. Nov. Comm. Ac. Petr., 1760/61 (1763)] и бесконечное произведение

cos jcoscos . = ,

которое Эйлер другим путем вывел уже в Comm. Ac. Petr., 1737 (1744).

Сферической тригонометрией Эйлер специально занялся в двух больших статьях, подойдя при этом к ней с различных точек зрения. В первой, помещенной в Mem. Ac. Berl., 1753 (1755) он совершенно общим образом построил сферическую тригонометрию как геометрию треугольников, составленных на поверхности сферы линиями кратчайшего расстояния. Эйлер исходил из прямоугольного треугольника, обозначив катет АР через х, катет РМ через у, гипотенузу AM через s [рис. 4]. Если О — полюс большого круга (экватора), на котором лежит АР, а Ор — меридиан, бесконечно близкий к ОР, то

Рис. 4.

Mm = ds, mn = dy, Pp = dx

и линия Мп, лежащая на параллельном круге широты у, равна dxcosy, так что

ds = Ö.

Далее, Эйлер искал условия, при которых интеграл этого элемента дуги будет иметь минимальное значение, и получил, таким образом, 10 уравнений, возникающих из правила Непера. Здесь в первый раз появились обозначения, которые мы теперь склонны считать само собой разумеющимися и отсутствие которых часто придавало такой неудобный вид прежним работам. Мы имеем в виду обозначение трех сторон буквами а, b, с, а противолежащих вершин и углов треугольника буквами А, В, С. То, что мы обозначаем последние по большей части буквами а, b, g, конечно, менее существенно. Греческие буквы были введены лишь в XIX столетии, хотя иногда а, b, g, применялись уже А. Кестнером в его «Основаниях арифметики, геометрии и тригонометрии» (Геттинген, 1759; 6-е изд. 1800). Новые обозначения позволили Эйлеру записать свои десять уравнений вполне в современном виде. Затем он получил из них шесть различных основных уравнений для прямоугольного треугольника. Соответствующим образом Эйлер поступил и в случае общего сферического треугольника. Определив минимум одной из сторон, он прежде всего нашел пять фундаментальных уравнений, из которых затем вывел теорему синусов, обе теоремы косинусов и так называемое правило котангенса (впервые встречающееся у Виета); последнее появилось у него в форме

sin a tg С — sin В tg с = cos a cos B tg C tgc,

переходящей в употребляемую ныне при делении на tgCtgc. Эйлер записывал каждую теорему в трех видах, которые получаются друг из друга циклической перестановкой, хотя сам Эйлер ею не пользовался. О полярном треугольнике Эйлер не упоминал, и вообще, с точки зрения полноты, в статье имелось несколько малозначительных пробелов. Зато применения и преобразования фундаментальных теорем были в высшей степени богатые.

Кризис и падение Римской республики. Римская империя. Реформы Гракхов
Во II в. до н.э. после победы над Карфагеном и Македонией Римское государство господствует на всем пространстве земель, омываемых Средиземным морем. Завоеванные страны стали неисчерпаемым источником рабов. Сотни тысяч их были проданы за бесценок в земледельческие поместья новой римской знати – сословия нобилей. Принадлежали к этому сосл ...

Противоречивость в решении хозяйственных проблем
Ускорение и радикализация проведения в жизнь новой аграрной политики столкнулись с определенными трудностями и внутри партии. На низовом уровне трудности проистекали прежде всего из того факта, что сельские парторганизации, сложившиеся в основном в годы антияпонской войны и включавшие выходцев из привилегированной части деревни, были не ...

Развитие аналитической геометрии, начиная с систематического исследования высших порядков
В рассматриваемое время координатный метод употребляли преимущественно в дифференциально-геометрических исследованиях, или же, если подчеркивали значение метода Декарта, применяли его к высшим алгебраическим кривым. Последним занялся, в частности, де-Гюа-де-Мальв в небольшой книге «Применения анализа Декарта», которая была богаче новыми ...